Начало пути

Карл Фридрих Гаусс (1777 — 1855) наряду со множеством академических степеней и отличий еще при жизни был удостоен почетного титула принца математики. Уже первые шаги Гаусса на математическом поприще носили отпечаток гения высочайшего ранга. В 1799 году он завершил работу «Арифметические исследования», которая оказала сильное влияние на последующее развитие теории чисел и высшей алгебры. Математика — наука молодых, и то, что в молодом, чтобы не сказать юном, возрасте Гаусс достиг одной из высочайших вершин своего научного творчества, само по себе не столь уж удивительно. Многие замечательные математики прошлого и наши современники получали выдающиеся результаты и решали проблемы, не поддававшиеся усилиям их предшественников. «Арифметические исследования» Гаусса поражают не столько россыпью замечательных результатов, сколько зрелостью идей и богатством новаций. Не будет преувеличением сказать, что именно идеи молодого Гаусса надолго определили пути развития высшей алгебры. Математики ранга Якоби и Абеля черпали вдохновение и постановки задач из несколько загадочных замечаний, разбросанных по страницам «Арифметических исследований».

В старейшей и прекраснейшей из областей математической науки — теории чисел — Гаусс получил ряд первоклассных результатов, разработав в мельчайших деталях теорию квадратичных вычетов, дав первое доказательство одной из центральных теорем теории чисел — так называемого квадратичного закона взаимности, заново изложил арифметическую теорию квадратичных форм, созданную ранее Ж.Лагранжем.

Принципиальное значение имела новация — развитая Гауссом теория композиции классов квадратичных форм. Именно она позволяет считать Гаусса предтечей того направления современной высшей алгебры, которое связано с именем Эмми Нетер и многими другими славными именами и имеет дело не только с абстрактными множествами, но и с определенными на таких множествах абстрактными операциями.

Завершаются «Арифметические исследования» теорией уравнений деления круга. Гаусс разработал методы решения таких уравнений и заодно решил одну из проблем, с античных времен занимавших умы математиков, но упорно не поддававшихся решению, — проблему построения правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки. Дело в том, что разрешимость задач на построение существенно зависит от тех средств, которые разрешается использовать при построении. Древние греки использовали в классическом варианте циркуль и линейку (без делений). Три знаменитые задачи древности (квадратура круга, трисекция угла и удвоение куба) неразрешимы с помощью циркуля и линейки, но становятся разрешимыми, если перейти к другим средствам построения. С древних времен математики по опыту знали, что одни правильные многоугольники можно построить с помощью циркуля и линейки, а построить другие никак не удается, но какие многоугольники допускают построение, а какие не допускают, оставалось неизвестным. Гаусс установил, что возможность построения правильного многоугольника с помощью циркуля и линейки зависит от арифметических свойств числа его сторон, указал все те числа, для которых построение правильного многоугольника с соответствующим числом сторон возможно и указал способ построения одного из «построяемых» многоугольников — правильного 17-угольника. Последнее открытие произвело на молодого Гаусса столь сильное впечатление, что он завещал высечь правильный 17-угольник на своем надгробии. Воля Гаусса была исполнена. Известна и точная дата замечательного открытия — 30 марта 1796 года. Записью об этом открытии открывается дневник Гаусса.

Гаусс прожил в науке долгую и плодотворную жизнь. С его именем связано несколько доказательств (первое относится к 1796 году) так называемой основной теоремы алгебры, метод вычисления эллиптических орбит по трем наблюдениям и открытия малых планет Цереры (1801) и Паллады (1802), метод обработки наблюдательных данных, получивший название метода наименьших квадратов, блещущая новизной идей внутренняя геометрия поверхностей, ставшая предтечей и прототипом римановой геометрии, сыгравшей важную роль в создании общей теории относительности Эйнштейна, теория потенциала, теория земного магнетизма и многое другое. Многое из его наследия осталось в рукописных материалах и было опубликовано спустя многие годы после кончины Гаусса.

Но в самом начале его пути в науке стоят «Арифметические исследования». Они не утратили своей ценности и поныне. «Арифметические исследования» не только вошли в историю науки, не только стали неотъемлемой частью живой ткани современной математической науки, но и удостоились высшей почести, став достоянием нашей культуры в самом широком ее понимании.

Юлий Данилов